Matemática: abril 2011

A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.

Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

Exemplo de aplicação

Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou a prazo em 5 parcelas de $ 260" você, provavelmente, pensaria: "É melhor comprar a prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar."

Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $ 1.300 – que é 30% a mais do que a oferta à vista ($ 1.000). São em situações como essas que você percebe como a matemática financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.

Conceitos

Principal ou Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.
Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Juros compostos

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é:

$FV=PV(1+i)^n\,$

, ou, invertendo os termos,

$PV=\frac{FV} {(1+i)^n\,}$

, onde

$F V :$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
$P V :$ Valor Presente (do inglês Present Value)
$i :$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
$n :$ Número de períodos

Número fixo de pagamentos de mesmo valor

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.

O valor $p m t$ de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro ( $F V$ ) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

$PV_3=\frac{pmt}{(1+i)^3\,}$

Nesse caso, o Valor Presente ( $P V$ ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

$PV=\sum_{k=1}^{n}\frac{pmt}{(1+i)^k\,}$

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

$PV=\frac{pmt}{i}\left(1-\frac{1}{(1+i)^n}\right)$

ou, invertendo os termos,

$pmt=\frac{PV i}{1 - \frac{1}{\left(1 + i \right) ^n}}$

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre $P V$ e $p m t 1$ existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

Número infinito de pagamentos de mesmo valor

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de investimento que remunera um valor constante todo período, como, por exemplo, um título pré-fixado de dívida do governo
.

Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente ( $P V$ ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando $n=\infty$ . Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

$PV=\frac{pmt}{i}$

Pagamentos não periódicos ou de valores diferentes

No caso de pagamentos diferentes em cada período, não é possível fazer essas simplificações. É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento.

Avaliação financeira de projetos

Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.

Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:

$C F$ ou $F C$ : Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.
$C F 0$ ou $F C 0$ : Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.
$N P L$ ou $V P L$ : Valor Presente Líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.

$NPV=CF_0+\frac{CF_1}{(1+i)}+\frac{CF_2}{(1+i)^2}+\frac{CF_3}{(1+i)^3}+\cdots$

A taxa de juros ( $i$ ) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.

Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:

Payback: Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.

Taxa Interna de Retorno - TIR ou IRR (do inglês Internal Rate of Return): Valor da taxa de juro para que $N P V$ seja igual a 0 (zero).

Matemática

sexta-feira, 1 de abril de 2011

Matemática Financeira.