Matemática

Curiosidade Matemática #1 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número.

A potenciação nos fornece um meio simples, prático e rápido para calcularmos a potência de grau 2 de um número inteiro, comumente conhecida como o quadrado desse número.

Como todos sabem, o meio em questão, corresponde ao produto (multiplicação) do número por ele mesmo, ou seja:

5² = 5 x 5 = 25

Mas, Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo, inventou uma regra diferente (e um pouco mais complicada, convenhamos) para obter o resultado da potência de grau 2 de um número, que consiste em:

O quadrado de um número inteiro n é igual a soma dos n primeiros números inteiros ímpares.

Para números pequenos vemos, facilmente, que a afirmação é verdadeira, através do uso direto do enunciado. Vejam:

1² = 1 (n = 1)
2² = 1 + 3 = 2 x 2 = 4 (n = 2)
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 x 5 = 25 (n = 5)
7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 x 7 = 49 (n = 7)

E como saber que a afirmação é válida para o número 5.227, por exemplo? No “braço” é extremamente trabalhoso comprovar, pois teríamos que somar os primeiros 5.227 números inteiros ímpares e, após, verificar que o resultado é igual ao quadrado de 5.227.

No entanto, se observarmos com um pouquinho mais de atenção veremos que a sequência formada pelos primeiros n números ímpares:

(1, 3, 5, 7, …., a_n)

é uma Progressão Aritmética (PA) de razão r = 2, onde a_n representa o enésimo termo ou o enésimo número ímpar.

Desse fato é suficiente, agora, utilizarmos das propriedades de uma PA. Mais especificamente das fórmulas do termo geral e da soma dos termos de uma PA finita, para demonstrarmos que Pitágoras esta com toda a razão (não a da PA).

Primeiro vamos determinar o valor de a_n em função de n:

a_n = a₁ + (n – 1)r = 1 + (n – 1)2 = 2n – 1

Para concluirmos, mostrando que a soma S_n é igual a n²:

S_n = [(a₁ + a_n)n]/2 = [(1 + 2n - 1)]n/2 = 2n²/2 = n²

Pronto! não é que o homem tinha razão?

Curiosidade Matemática #2 – Desafio dos quatro 4

Adaptado do livro O Homem Que Calculava, de Malba Tahan.
Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log , lim , etc. Podem entretanto ser utilizados os símbolos de fatorial e raiz quadrada.
Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100.

Vi o desafio aqui.

Na tabela a seguir escrevi, obedecendo as regras estabelecidas, os números naturais de 0 a 25. Foi utilizado o fatorial de 4 em algumas das expressões, cuja notação é 4! e cujo valor é igual a 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Não sei se os pacientes calculistas estão com razão, mas se você quiser tentar escrever um ou mais número acima de 25 faça-o nos comentários e quem sabe possamos confirmar o que dizem os calculistas.

Número	Expressão
0
1	$4-4+\frac{4}{4}$
2	$\frac{4}{4}+\frac{4}{4}$
3	$\sqrt{4}+\sqrt{4}-\frac{4}{4}$
4	$\sqrt{4}+\sqrt{4}+4-4$
5	$\sqrt{4}+\sqrt{4}+\frac{4}{4}$
6	$\sqrt{4}+4+4-4$
7	$4+4-\frac{4}{4}$
8	$\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}=(4\times4)-(4+4)$
9	$4+4+\frac{4}{4}$
10	$\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+4=\frac{44-4}{4}$
11	$\frac{4!}{\sqrt{4}}-\frac{4}{4}$
12	$4\times4-(\sqrt{4}+\sqrt{4})$
13	$\frac{4!}{\sqrt{4}}+\frac{4}{4}$
14	$(4\times4)-4+\sqrt{4}$
15	$(4\times4)-\frac{4}{4}$
16	$(4\times4)+4-4$
17	$(4\times4)+\frac{4}{4}$
18	$(4\times4)+4-\sqrt{4}$
19	$4!-(4+\frac{4}{4})$
20	$\frac{44}{\sqrt{4}}-sqrt{4}$
19	$4!-(4+\frac{4}{4})$
20	$\frac{44}{\sqrt{4}}-sqrt{4}$
21	$4!-4+\frac{4}{4}$
22	$4!-\sqrt{4}+4-4$
23	$\frac{44+sqrt{4}}{\sqrt{4}}$
24	$\frac{44+4}{\sqrt{4}}=4!-\sqrt{4}+\frac{4}{\sqrt{4}}$
25	$\frac{4!+4!+\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$

Curiosidade Matemática #3 – Fatos Curiosos
Pesquisando no Google, me deparei com a página Fatos Curiosos! Você seria capaz de provar tais fatos? e dentre eles, em um total de cinco e bem interessantes, selecionei o Fato 4 que transcrevo a seguir, aceitando o desafio explícito no seu título:
Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.
Em outros termos, o que devemos demonstrar é:
Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.
Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:
R = (x² + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x³ + 2x² + x² + 2x)(x + 3) + 1    =>
R = (x³ + 3x² + 2x)(x + 3) + 1 = x⁴ + 3x³ + 3x³ + 9x² + 2x² + 6x + 1
Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:
R = (x⁴ + 6x³ + 9x²) + 2(x² + 3x) + 1
Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:
R = (x² + 3x)² + 2(x² + 3x) + 1  [1]
Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:
y = (x² + 3x)   [2]
e substituir em [1] para concluir que:
R = y² + 2y + 1 = (y + 1)² [3]
é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.
Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.
Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 29² = 841.

Curiosidade Matemática #4 – Números com Três Algarismos.
Dado qualquer número com três algarismos, repita este número em sua frente e divida o número assim construído por 13. Em seguida, pegue o resultado dessa divisão e divida por 11, e, novamente, divida o resultado obtido por 7. O resultado final será sempre o número inicialmente escolhido.
Para não haver dúvidas quanto à questão colocada, vamos a um exemplo prático:
Seja 564 o número escolhido. Repetindo o número na frente do número dado obtemos o número 564564.
Dividindo esse número por 13:
564564/13 = 43428
Dividindo o resultado da divisão anterior por 11:
43428/11 = 3948
E, finalmente, dividindo esse resultado por 7, obtemos o número inicialmente escolhido:
3948/7 = 564
Faça outros exemplos e você verá que o resultado será, de fato, sempre o número escolhido inicialmente. Por que? Alguém se candidata a explicar aí nos comentários?

Curiosidade Matemática #9 – 1089: O Número (dito) Mágico

A razão para que o número 1089 seja considerado “mágico” decorre do fato de ser obtido da seguinte forma:
Dado um número qualquer composto de três algarismos diferentes – abc -, inverta esse número, no sentido de trás para frente – cba – e subtraia o menor do maior. Ao resultado dessa subtração – representada por xyz -, onde se deve considerar sempre um número de três algarismos, mesmo quando a diferença na casa das centenas é zero, some o seu inverso – zyx – e eis que surge “fagueiro” o número 1089.
O objetivo deste post é demonstrar porque isso sempre ocorre. Mas, antes alguns exemplos para que não restem eventuais dúvidas quanto ao enunciado.
Exemplo 1: Seja 367 um número escolhido, que escrito de trás para frente é 763. Subtraindo o menor do maior obtemos:
763 – 367 = 396
E somando o resultado obtido ao seu inverso de trás para frente:
396 + 693 = 1089
Exemplo 2: Agora tome o número 675. Utilizando-se dos mesmos procedimentos vem:
675 – 576 = 099 => 099 + 990 = 1089
Observe que no exemplo acima o zero a esquerda – em 099 – deve ser considerado para que o resultado seja o número “mágico” 1089.
Isto posto, vamos lá.
Seja e com a composição abc o número escolhido. Como a representa a centena, b a dezena ec a unidade, então e pode ser escrito como:
e = 100a + 10b + c.
Pelo enunciado, o “inverso” de e tem a composição “cba” e por analogia:
d = 100c + 10b + a.
Portanto, supondo que e > d, temos a > c (representam as centenas de e e d respectivamente) e que a subtração é dada por:
e – d = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)
Eliminando os parenteses e efetuando a multiplicação por -1, a famosa troca de sinal:
e – d = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a
Efetuando as operações com os termos comuns, ou seja, 100a – a = 99a, 100c – c = 99c e 10b – 10b = 0:
e – d = 99a – 99c
Colocando 99 em evidência – termo comum às duas parcelas:
e – d = 99(a – c)
Até aqui fica demonstrado que o resultado da diferença entre e e d – que será representada pela composição xyz – é sempre um múltiplo de 99 e portanto, necessariamente, um múltiplo de 9.Como nas duas parcelas e e d, b não muda de posição, permanecendo na casa das dezenas e a > c, então o “y” da composição do resultado (”xyz”) será sempre igual a 9 (lembra do tira 1 dos tempos da aritmética!).
E como em todo número divisível por 9 a soma de seus algarimos é também um número divisível por 9, concluímos que x + z = 9.
Logo, podemos escrever o resultado R da soma da diferença pelo seu “inverso” como:
R = 100x + 10y + z + 100z + 10y + x
que pode ser reescrito como:
R = 100(x + z) + 20y + (x + z) = 100(9) + 20(9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089
como queríamos demonstrar.
Observações:
Na expressão 99(a – c), obtida na demonstração como resultado da subtração inicial, teremos sempre o valor 099 quando a diferença entre o algarismo da centena e da unidade do número escolhido for igual a 1, caso do exemplo 2 acima;

Que os resultados possíveis para a subtração inicial são 099, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 e 891;

Que, com exceção do 099, todos os inversos utilizados na soma – segundo passo para obter o 1089 – estão, também, entre os números acima;

E, finalmente, que o resultado de toda a brincadeira, para qualquer que seja o número escolhido, é sempre igual a 11 x 99 = 1089. Veja que se a – c = 2, por exemplo, temos como resultado da subtração 198 = 2 x 99 cujo inverso é 891 = 9 x 99, o que conduz a 1089 = (2×99) + (9×99) = 11 x 99.

A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.

Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

Exemplo de aplicação

Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou a prazo em 5 parcelas de $ 260" você, provavelmente, pensaria: "É melhor comprar a prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar."

Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $ 1.300 – que é 30% a mais do que a oferta à vista ($ 1.000). São em situações como essas que você percebe como a matemática financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.

Conceitos

Principal ou Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.
Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).
Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.
Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Juros compostos

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é:

$FV=PV(1+i)^n\,$

, ou, invertendo os termos,

$PV=\frac{FV} {(1+i)^n\,}$

, onde

$F V :$ Valor Futuro (do inglês Future Value)
$P V :$ Valor Presente (do inglês Present Value)
$i :$ Taxa de juros (do inglês Interest Rate)
$n :$ Número de períodos

Número fixo de pagamentos de mesmo valor

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.

O valor $p m t$ de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro ( $F V$ ) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

$PV_3=\frac{pmt}{(1+i)^3\,}$

Nesse caso, o Valor Presente ( $P V$ ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

$PV=\sum_{k=1}^{n}\frac{pmt}{(1+i)^k\,}$

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

$PV=\frac{pmt}{i}\left(1-\frac{1}{(1+i)^n}\right)$

ou, invertendo os termos,

$pmt=\frac{PV i}{1 - \frac{1}{\left(1 + i \right) ^n}}$

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre $P V$ e $p m t 1$ existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

Número infinito de pagamentos de mesmo valor

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de investimento que remunera um valor constante todo período, como, por exemplo, um título pré-fixado de dívida do governo
.

Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente ( $P V$ ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando $n=\infty$ . Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

$PV=\frac{pmt}{i}$

Pagamentos não periódicos ou de valores diferentes

No caso de pagamentos diferentes em cada período, não é possível fazer essas simplificações. É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento.

Avaliação financeira de projetos

Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.

Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:

$C F$ ou $F C$ : Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.
$C F 0$ ou $F C 0$ : Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.
$N P L$ ou $V P L$ : Valor Presente Líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.

$NPV=CF_0+\frac{CF_1}{(1+i)}+\frac{CF_2}{(1+i)^2}+\frac{CF_3}{(1+i)^3}+\cdots$

A taxa de juros ( $i$ ) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.

Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:

Payback: Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.

Taxa Interna de Retorno - TIR ou IRR (do inglês Internal Rate of Return): Valor da taxa de juro para que $N P V$ seja igual a 0 (zero).

Matemática

quarta-feira, 3 de agosto de 2011

Curiosidades sobre a Matemática.

Curiosidade Matemática #1 – Método de Pitágoras para Calcular a Potência de Grau 2 de um Número.

Curiosidade Matemática #2 – Desafio dos quatro 4

Curiosidade Matemática #3 – Fatos Curiosos

Curiosidade Matemática #4 – Números com Três Algarismos.

Curiosidade Matemática #9 – 1089: O Número (dito) Mágico

sexta-feira, 1 de abril de 2011

Matemática Financeira.